初中如何求垂直方程
2025-05-13 14:58:28
何老师
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初中阶段求垂直方程主要涉及直线与直线、平面与平面垂直的情况，以下是具体方法：
一、直线与直线垂直
一般式方程
若已知直线$l_1$的方程为$A_1x + B_1y + C_1 = 0$，其斜率$k_1 = -frac{A_1}{B_1}$（$B_1 neq 0$）。 与其垂直的直线$l_2$的斜率$k_2 = frac{B_1}{A_1}$，则$l_2$的方程可设为$A_2x + B_2y + C_2 = 0$，且满足$A_1A_2 + B_1B_2 = 0$。 示例：
已知直线$2x - 3y + 4 = 0$，垂直直线方程为$3x + 2y + C = 0$（$C$为常数）。
点斜式方程
若已知直线$l_1$过点$（x_0, y_0）$且斜率为$k_1$，其方程为$y - y_0 = k_1（x - x_0）$。 垂直直线$l_2$的斜率$k_2 = -frac{1}{k_1}$，则方程为$y - y_0 = -frac{1}{k_1}（x - x_0）$。 示例：
已知直线$y = 2x + 3$过点$（1, 5）$，垂直直线方程为$y - 5 = -frac{1}{2}（x - 1）$，即$x + 2y - 11 = 0$。
二、平面与平面垂直
法向量法
若已知平面$pi_1$的法向量$mathbf{n_1} = （A_1, B_1, C_1）$，平面$pi_2$的法向量$mathbf{n_2} = （A_2, B_2, C_2）$，则两平面垂直的充要条件是$mathbf{n_1} cdot mathbf{n_2} = 0$，即$A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$。 示例：
已知平面$2x + 3y - z + 4 = 0$和平面$x - 2y + 3z = 0$，法向量分别为$（2, 3, -1）$和$（1, -2, 3）$，满足$2 cdot 1 + 3 cdot （-2） + （-1） cdot 3 = -5 neq 0$，故不垂直。
三、注意事项
斜率不存在的情况：当直线方程为$x = k$（垂直于y轴）时，其垂直直线为$y = m$（垂直于x轴）。
几何意义：两直线垂直时，其方向向量点积为0；两平面垂直时，其法向量点积为0。
通过以上方法，初中阶段可系统掌握直线与直线、平面与平面垂直的方程求解技巧。
