初中如何求sin15度
2025-05-04 21:22:59
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在初中阶段，求sin15度的值可以通过以下两种常用方法实现：
一、利用两角差的正弦公式
公式应用
根据两角差的正弦公式：
$$sin(alpha - beta) = sinalphacosbeta - cosalphasinbeta$$
选择 $alpha = 45^circ$ 和 $beta = 30^circ$，则：
$$sin15^circ = sin(45^circ - 30^circ) = sin45^circcos30^circ - cos45^circsin30^circ$$
代入已知值
已知：
$$sin45^circ = frac{sqrt{2}}{2}, quad cos30^circ = frac{sqrt{3}}{2}, quad sin30^circ = frac{1}{2}$$
代入公式：
$$sin15^circ = left(frac{sqrt{2}}{2}right)left(frac{sqrt{3}}{2}right) - left(frac{sqrt{2}}{2}right)left(frac{1}{2}right)$$
$$= frac{sqrt{6}}{4} - frac{sqrt{2}}{4} = frac{sqrt{6} - sqrt{2}}{4}$$
二、利用余弦倍角公式
公式应用
根据余弦倍角公式：
$$cos2theta = 1 - 2sin^2theta$$
令 $theta = 15^circ$，则 $2theta = 30^circ$，已知 $cos30^circ = frac{sqrt{3}}{2}$，代入公式：
$$frac{sqrt{3}}{2} = 1 - 2sin^215^circ$$
解方程
移项并整理：
$$2sin^215^circ = 1 - frac{sqrt{3}}{2} = frac{2 - sqrt{3}}{2}$$
$$sin^215^circ = frac{2 - sqrt{3}}{4}$$
取正值（因为 $15^circ$ 在第一象限）：
$$sin15^circ = sqrt{frac{2 - sqrt{3}}{4}} = frac{sqrt{2 - sqrt{3}}}{2}$$
通过化简可得：
$$sin15^circ = frac{sqrt{6} - sqrt{2}}{4}$$
总结
两种方法均可得到 $sin15^circ = frac{sqrt{6} - sqrt{2}}{4}$，其中两角差公式更直观易懂，适合初中阶段学习。几何法（如构造30-60-90三角形）也可辅助理解角度关系，但计算稍复杂。
