2025-04-17 10:27:00
精选答案
首先证明这个结论：O是ABC内心的充要条件是：aOA+bOB+cOC=0 （均表示向量）证明:OB=OA+AB,OC=OA+AC,代入aOA+bOB+cOC=0中得到：AO=(bAB+cAC)/(a+b+c)而|AC|=b,|AB|=c所以AO=bc/(a+b+c) * (AB/|AB|+AC/|AC|)而由平行四边形法则值(AB/|AB|+AC/|AC|)与BAC交角平分线共线所以AO经过内心同理BO,CO也经过内心,所以O为内心反之亦然,就不证了知道这个结论后设ABC的坐标为：A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) BC=a,CA=b,AB=c内心为O(x,y)则有aOA+bOB+cOC=0（三个向量） MA=(x1-x,y1-y) MB=(x2-x,y2-y) MC=(x3-x,y3-y) 则：a(x1-x)+b(x2-x)+c(x3-x)=0,a(y1-y)+b(y2-y)+c(y3-y)=0 ∴x=(ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),Y=(ay1+by2+cy3)/(a+b+c) ∴O((ax1+bx2+cx3)/(a+b+c),(ay1+by2+cy3)/(a+b+c))
2025-04-17 10:27:00
其他答案
例：在三角形ABC中,若a*OA向量+b*OB向量+c*OC向量=0向量,证明：O为三角形ABC内心.
在三角形ABC中,若a*OA向量+b*OB向量+c*OC向量=0向量,且a,b,c为三角形三个内角对应三边长,证明：O为三角形ABC内心.
在纸上先把图画出来,然后延长CO交AB于D:以下全部为向量
所以OA=OD+DA,OB=OD+DB,依题意得：
aOA+bOB+cOC=0
所以,a(OD+DA)+b(OD+DB)+cOC=0
又因为,OD与OC共线,DA与DB共线,所以不妨设,OD=kOC
原式变为：(k(a+b)+c)OC+(aDA+bDB)=0
所以,aDA=-bDB,所以DA与DB的长度之比为b/a,所以CD为角平分线.同理可证其他的两条也是角平分线.
