方程的一般式求通解

直线的一般式方程直线的一般式方程能够表示坐标平面内的任何直线。

（A，B不全为零即A^2+B^2≠0）该直线的斜率为(当B=0时没有斜率)平行于x轴时，A=0，C≠0；平行于y轴时，B=0，C≠0；与x轴重合时，A=0，C=0；与y轴重合时，B=0，C=0；过原点时，C=0；与x、y轴都相交时，A*B≠0。关于直线的一般式方程的结论两直线平行时：普遍适用：，方便记忆运用：(A2B2C2 != 0）两直线垂直时：两直线重合时： (）两直线相交时：(）两直线一般式垂直公式的证明：设直线l1：A1x+B1y+C1=0直线l2：A2x+B2y+C2=0（必要性）∵l1⊥l2∴k1×k2=-1∵k1=-A1/B1，k2=-A2/B2∴(-A1/B1)(A2/B2)=-1 ∴（B1B2）/(A1A2)=-1∴B1B2=-A1A2∴A1A2+B1B2=0（充分性）∵A1A2+B1B2=0∴B1B2=-A1A2∴（B1B2）(1/A1A2)=-1∴(A1/B1)(A2/B2)=-1∴(-A1/B1)(-A2/B2)=-1∵k1=-A1/B1, k2=-A2/B2∴k1×k2=-1∴l1⊥l2已知直线上两点求直线的一般式方程一般式方程在计算机领域的重要性常用的直线方程有一般式点斜式截距式斜截式两点式等等。除了一般式方程，它们要么不能支持所有情况下的直线（比如跟坐标轴垂直或者平行），要么不能支持所有情况下的点（比如x坐标相等，或者y坐标相等）。所以一般式方程在用计算机处理二维图形数据时特别有用。已知直线上两点求直线的一般式方程已知直线上的两点P1(X1,Y1) P2(X2,Y2)， P1 P2两点不重合。对于AX+BY+C=0：当x1=x2时，直线方程为x-x1=0当y1=y2时，直线方程为y-y1=0当x1≠x2，y1≠y2时，直线的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)故直线方程为y-y1=(y2-y1)/(x2-x1)×(x-x1)即x2y-x1y-x2y1+x1y1=(y2-y1)x-x1(y2-y1)即(y2-y1)x-(x2-x1)y-x1(y2-y1)+(x2-x1)y1=0即(y2-y1)x+(x1-x2)y+x2y1-x1y2=0 ①可以发现，当x1=x2或y1=y2时，①式仍然成立。所以直线AX+BY+C=0的一般式方程就是：A = Y2 - Y1B = X1 - X2C = X2*Y1 - X1*Y2

若二元一次不定方程ax+by=c有一组整数解为（x0,y0)且（a,b)=1,则其通解为x=x0+bt,y=y0-at （t为任意整数）。（a,b)=1是a，b互素。 证明：既然x0，y0是(1)式的整数解，当然满足ax0+by0=c，因此 a(x0+bt)+b(y0-at)=ax0+by0=c。

这表明x=x0+bt,y=y0-at 式是ax+by=c式的解。

设x'，y'是(1)式的任一整数解，则有ax'+by'=c，减去ax0+by0=c，即得 a(x'-x0)+b(y'-y0)=0 a(x'-x0)=-b(y'-y0) 由上式和(a,b)=1，故由上面所列引理我们有b|(x'-x0)，即x'=x0+at其中t是一个整数。

将x'=x0+at代入a(x'-x0)=-b(y'-y0)，即得y'-y0=-bt，y'=y0-bt，因此x'，y'是ax+by=c的一切整数解，因此以上命题得证