高二数学，导数的简单，几种形式推导

导数定义：ƒ'(x) = lim(Δx→0) [ƒ(x + Δx) - ƒ(x)]/Δx则ƒ'(x₀) = lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]/Δx，其中Δx可以是负数，或者一个式子，总之要趋向0对于①： lim(Δx→0) [ƒ(x₀) - ƒ(x₀ - 2Δx)]/(2Δx)= lim(Δx→0) - [ƒ(x₀ - 2Δx) - ƒ(x₀)]/(2Δx)= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ - 2Δx) - ƒ(x₀)]/(- 2Δx)，若令Δu = - 2Δx= lim(Δu→0) [ƒ(x₀ + Δu) - ƒ(x₀)]/Δu= ƒ'(x₀)对于②： lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀ - Δx)]/Δx= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀) - ƒ(x₀ - Δx) + ƒ(x₀)]/Δx= lim(Δx→0) {[ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)] - [ƒ(x₀ - Δx) - ƒ(x₀)]}/Δx= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]/Δx - lim(Δx→0) [ƒ(x₀ - Δx) - ƒ(x₀)]/Δx= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]/Δx + lim(- Δx→0) [ƒ(x₀ - Δx) - ƒ(x₀)]/(- Δx)= ƒ'(x₀) + ƒ'(x₀)= 2ƒ'(x₀)对于③： lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + 2Δx) - ƒ(x₀ + Δx)]/Δx= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + 2Δx) - ƒ(x₀) - ƒ(x₀ + Δx) + ƒ(x₀)]/Δx= lim(Δx→0) {[ƒ(x₀ + 2Δx) - ƒ(x₀)] - [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]}/Δx= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + 2Δx) - ƒ(x₀)]/Δx - lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]/Δx= 2lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + 2Δx) - ƒ(x₀)]/(2Δx) - lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]/Δx= 2ƒ'(x₀) - ƒ'(x₀)= ƒ'(x₀)对于④： lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀ - 2Δx)]/Δx= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀) - ƒ(x₀ - 2Δx) + ƒ(x₀)]/Δx= lim(Δx→0) {[ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)] - [ƒ(x₀ - 2Δx) - ƒ(x₀)]}/Δx= lim(Δx→0) [ƒ(x₀ + Δx) - ƒ(x₀)]/Δx - lim(Δx→0) [ƒ(x₀ - 2Δx) - ƒ(x₀)]/(- 2Δx) • (- 2)= ƒ'(x₀) + 2ƒ'(x₀)= 3ƒ'(x₀)只有①③正确。

导数定义：ƒ'(x)=lim(Δx→0)[ƒ(x+Δx)-ƒ(x)]/Δx则ƒ'(x₀)=lim(Δx→0)[ƒ(x₀+Δx)-ƒ(x₀)]/Δx，其中Δx可以是负数，或者一个式子，总之要趋向0对于①：lim(Δx→0)[ƒ(x₀)-ƒ(x₀-2Δx)]/(2Δx)=lim(Δx→0)-[ƒ(x₀-2Δx)-ƒ(x₀)]/(2Δx)=lim(Δx→0)[ƒ(x₀-2Δx)-ƒ(x₀)]/(-2Δx)，若令Δu=-2Δx=lim(Δu→0)[ƒ(x₀+Δu)-ƒ(x₀)]/Δu=ƒ'(x₀)对于②：lim(Δx→0)[ƒ(x₀+Δx)-ƒ(x₀-Δx)]/Δx=lim(Δx→0)[ƒ(x₀+Δx)-ƒ(x₀)-ƒ(x₀-Δx)+ƒ(x₀)]/Δx=lim(Δx→0){[ƒ(x₀+Δx)-ƒ(x₀)]-[ƒ(x₀-Δx)-ƒ(x₀)]}/Δx=lim(Δx→0)[ƒ(x₀+Δx)-ƒ(x₀)]/Δx-lim(Δx→0)[ƒ(x₀-Δx)-ƒ(x₀)]/Δx=lim(Δx→0)[ƒ(x₀+Δx)-ƒ(x₀)]/Δx+lim(-Δx→0)[ƒ(x₀-Δx)-ƒ(x₀)]/(-Δx)=ƒ'(x₀)+ƒ'(x₀)=2ƒ'(x₀)对于③：lim(Δx→0)[ƒ(x₀+2Δx)-ƒ(x₀+Δx)]/Δx=lim(Δx→0)[ƒ(x₀+2Δx)-ƒ(x₀)-ƒ(x₀+Δx)+ƒ(x₀)]/Δx=lim(Δx→0){[ƒ(x₀+2Δx)-ƒ(x₀)]-[ƒ(x₀+Δx)-ƒ(x₀)]}/Δx=lim(Δx→0)[ƒ(x₀+2Δx)-ƒ(x₀)]/Δx-lim(Δx→0)[ƒ(x₀+Δx)-ƒ(x₀)]/Δx=2lim(Δx→0)[ƒ(x₀+2Δx)-ƒ(x₀)]/(2Δx)-lim(Δx→0)[ƒ(x₀+Δx)-ƒ(x₀)]/Δx=2ƒ'(x₀)-ƒ'(x₀)=ƒ'(x₀)对于④：lim(Δx→0)[ƒ(x₀+Δx)-ƒ(x₀-2Δx)]/Δx=lim(Δx→0)[ƒ(x₀+Δx)-ƒ(x₀)-ƒ(x₀-2Δx)+ƒ(x₀)]/Δx=lim(Δx→0){[ƒ(x₀+Δx)-ƒ(x₀)]-[ƒ(x₀-2Δx)-ƒ(x₀)]}/Δx=lim(Δx→0)[ƒ(x₀+Δx)-ƒ(x₀)]/Δx-lim(Δx→0)[ƒ(x₀-2Δx)-ƒ(x₀)]/(-2Δx)•(-2)=ƒ'(x₀)+2ƒ'(x₀)=3ƒ'(x₀)只有①③正确。